さんげつ 雑纂

7.1　SIRSモデル

　このいわばフィードバック過程を入れたモデルは昔から考えられていてSIRSモデルという。流れ図は図6.1で、可感染者$S$は感染して、感染者$I$になり、検査を経て隔離者$R$になる。これがSIRモデルであるが、SIRSモデルでは、隔離者$R$は免疫を喪失して可感染者$S$になる。$R$はこれまでの用語では隔離者あるいは回復者の数であったが、免疫を持つ人の数と言った方が理解しやすい。$S$は免疫を持たない人の数である。

図7.1　SIRSモデルの流れ図

可感染者$S$は感染して、感染者$I$になり、検査を経て隔離者$R$になる。これがSIRモデルであるが、SIRSモデルでは、隔離者$R$は免疫を喪失して可感染者$S$になる。

　方程式系は
\begin{align}
\frac{dS(t)}{dt} &= -\beta S(t)I(t) + \nu R(t) \tag{7.1}\\
\frac{dI(t)}{dt} &= \beta S(t)I(t) - \gamma I(t) \tag{7.2}\\
\frac{dR(t)}{dt} &= \gamma I(t) - \nu R(t) \tag{7.3}
\end{align}
　(7.1)と(7.3)の右辺にある項 $\nu R(t)$が免疫の喪失を表している。この方程式でも$S(t)+ I(t) +R(t)=N$（総人口で一定）を満たしていることに注意する。
　さて、免疫の喪失の速さを示すパラメタ$\nu$に関して次の報告がある。英イングランド地方の36万人以上の成人に対して、6月下旬から7月上旬に全体の6%から抗体を検出したが、9月には4.4%に減じていたというから（共同通信10/28）、期間を2ヶ月（60日）、その間に指数関数的に減少したと仮定して
\begin{align}
\nu = -\log(4.4/6)/60 \simeq 0.005 \tag{7.4}
\end{align}
となる。抗体を失う平均日数は約$1/\nu = 200$日である。東京⼤医科学研究所の研究は、抗体が少なくとも3～6ヶ月維持されるとしている（毎日新聞2021年2月16日）。「少なくとも」と言っているので、オーダー的にはあっていると思われる。

　抗体の保持と免疫の獲得は同じではないのだが、ひとまず同一視し、この$\nu$の値を使って計算した結果が図7.2である。ここで、他のパラメタ値は本連載（2）の図2.1と同じで、$S(0)= 10^7、I(0)=1, R(0)=0$とした。

図7.2　SIRSモデルの典型的な変化

感染者数$I$の山が何度かでき、ピーク値はさがり、最終的に（7.6）式で与えられる0でない平衡値に近づく。免疫を持たない人の数$S$や免疫を持つ人の数$R$は振動しながらそれぞれ平衡値(7.5)と(7.7)に近づく。 $S(0)=10^7$ （人口1千万人）、$ I(0)=1$ （初期感染者1人） 、$\gamma =0.1$ (感染から隔離までの平均日数10日) 、基本再生産数 $ \mathcal R_0= \beta S(0)/\gamma = 2.5 $ の場合。

　図から分かるように感染のピークが何度か現れており、感染のピークの高さは回を重ねるほどに低くなっていることが分かる。$S, I, R$はある値に近づいているが、これはSIRSモデルの自明でない平衡解（（7.1-7.3)で右辺=0から得られる）の値
\begin{align}
S_1 &= \gamma/\beta \tag{7.5} \\
I_1 &= \frac{\nu}{\gamma + \nu}(N - \gamma/\beta)\tag{7.6} \\
R_1 &= \frac{\gamma}{\gamma + \nu}(N + \gamma /\beta) \tag{7.7}
\end{align}
である。
　この図は$\mathcal R_0=2.5$の場合を示したものであるが、より小さい値で感染者数$I$がどのように変化するかを示したのが図7.3である。 $\mathcal R_0$が小さいほどピーク値は下がり、ピーク間の日数は大きくなる。

図7.3　基本再生産数$\mathcal R_0$を変化させた場合

$\mathcal R_0$を変化させた時の感染者数$I$の変化。$\mathcal R_0$が小さいほどピーク値は下がり、ピーク間隔は大きくなる。

7.2　未発症感染者の存在

図7.4　SEIARSモデルの流れ図

　図7.4は図7.2と対応する。図7.2のSIRSモデルと類似の変化をするが、最終的な値でみて、可感染者数はより小さく、回復者数はより大きくなっている。第1波で無症状感染者の存在のため多数が感染し、その結果、免疫を持った回復者が多数発生したためと考えられる。

図7.5　SEIARSモデルの場合の典型的な変化

SEIARSモデルの場合の可感染者数$S$、感染力を有する感染者数$I+A$、回復（免疫を持った人の）数$R$の時間変化。図7.2のSIRSモデルと類似の変化をするが、回復者数はSIRモデルの場合より大きい。

7.3　第2波、第3波の原因

　（7.4）式からも予想がつくように、我が国で実際に観察された第1波、第2波、第3波の間隔は図7.3から想定される数字より短く、免疫の喪失による感染の再流行、再々流行とは考えにくい。
　第1波、第2波で感染爆発を起こしたわけではないので、ウィルスが市中に残存した状態で元の生活への復帰、あるいは、GoToトラベルやGoToイートなどの感染拡大行為、気温・湿度の低下などの自然条件の変化などがあれば、感染係数$\beta$が増大して、その結果、実効再生産数が上がって再流行、再々流行を許したと考えるほうが自然だろう。

　以上は抗体の保持と免疫の獲得を同一視した結論である。抗体を保持していても免疫を獲得しているとは限らない。つまり、免疫の平均有効期間200日は過大である可能性がある。回復して間もない人が再感染した例も 報告 されているようで、このあたりの情報がもう少し得られれば、再度検討したいと思う。